Question

【題目】設(shè)，函數(shù)．

（1）若，求曲線在處的切線方程；

（2）若無零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若有兩個相異零點，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

試題分析：(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當時，帖點斜式寫出切線方程即可；(2)當時，由可知函數(shù)有零點，不符合題意；當時，函數(shù)有唯一零點有唯一零點，不符合題意；當時，由單調(diào)性可知函數(shù)有最大值，由函數(shù)的最大值小于零列出不等式，解之即可；(3) 設(shè)的兩個相異零點為，，設(shè)，則，，兩式作差可得，即，由可得即，

，設(shè)上式轉(zhuǎn)化為（），構(gòu)造函數(shù)，證即可.

試題解析： （1）函數(shù)的定義域為，，

當時，，則切線方程為，即．

（2）①若時，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，

∵，，

∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點；

②若，有唯一零點；

③若，令，得，

在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；

在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；

故在區(qū)間上，的極大值為，

由于無零點，須使，解得，

故所求實數(shù)的取值范圍是．

（3）設(shè)的兩個相異零點為，，設(shè)，

∵，，∴，，

∴，，

∵，故，故，

即，即，

設(shè)上式轉(zhuǎn)化為（），

設(shè)，

∴，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，∴，

∴．