Question

【題目】已知橢圓（﹥﹥0）的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為,求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

試題分析： (1)設(shè)橢圓的方程,利用短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為,離心率為，可求得橢圓的方程；(2)設(shè)，分情況:一斜率不存在,求出;二斜率存在,設(shè)直線的方程,由坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為,可得,同時(shí)與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,利用弦長(zhǎng)公式即可得出.

試題解析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意

∴，∴所求橢圓方程為.

（2）設(shè)，

（1）當(dāng)軸時(shí)，.

（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為.

由已知，得.

把代入橢圓方程，整理得,

∴,

∴

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)時(shí)，,

綜上所述，.

所以，當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值.