Question

【題目】已知是橢圓的左右頂點，點為橢圓上一點，點關于軸的對稱點為，且.

（1）若橢圓經過圓的圓心，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，設為橢圓上一點，且滿足（為坐標原點），當時，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）設，由在橢圓上求出，再由橢圓過點得，從而可得，得橢圓方程；

（2）由題意可知直線的斜率存在，設，，，，直線方程與橢圓方程聯立，并消元后應用韋達定理得，同時注意，由弦長公式表示出后可得的取值范圍，由向量線性運算求出點坐標，交代入橢圓方程得出的關系，從而得的范圍．

（1）設，因為，則點關于軸的對稱點.

，，又由橢圓的方程得，

所以，

又橢圓過圓的圓心，

所以，，所以橢圓的標準方程為；

（2）由題意可知直線的斜率存在，設，，，

由得：由，得：

，.

，

，，結合（*）得：.

，.

從而，.

∵點在橢圓上，，

整理得：即，，

或.