Question

【題目】已知圓O1與圓O：x2+y2＝r（r＞0）交于點P（﹣1，y0）.且關于直線x+y＝1對稱.

（1）求圓O及圓O1的方程：

（2）在第一象限內.圓O上是否存在點A，過點A作直線l與拋物線y2＝4x交于點B，與x軸交于點D，且以點D為圓心的圓過點O，A，B？若存在.求出點A的坐標；若不存在.說明理由.

Answer 1

【答案】（1）圓O1的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5；圓O的方程為x2+y2＝5（2）不存在，詳見解析

【解析】

（1）由題意可得在直線上，可得的坐標，進而得到圓的方程；設關于直線的對稱點為，由兩直線垂直的條件和中點坐標公式可得，，進而得到圓的方程；

（2）假設在第一象限內．圓上存在點，且以點為圓心的圓過點，，，則，為的中點，設出，的方程，分別聯立圓的方程和拋物線的方程，求得，的坐標，再由中點坐標公式，解方程即可判斷存在性．

（1）圓O1與圓O：x2+y2＝r（r＞0）交于點P（﹣1，y0）.且關于直線x+y＝1對稱，

可得P在直線x+y＝1上，即有﹣1+y0＝1，即y0＝2，P（﹣1，2），

可得r＝1+4＝5，則圓O的方程為x2+y2＝5；

設（0，0）關于直線x+y＝1的對稱點為（a，b），可得a＝b，a+b＝2，

解得a＝b＝1，可得圓O1的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5；

（2）假設在第一象限內.圓O上存在點A，且以點D為圓心的圓過點O，A，B，

則OA⊥OB，D為AB的中點，由題意可得直線OA的斜率存在且大于0，設OA的方程為y＝kx（k＞0），

OB：yx，

由解得x，即有A（，k），

由可得x＝4k2，即有B（4k2，﹣4k），

由D為AB的中點，可得k4k＝0，

化為16k2+11＝0，方程無實數解，

則符合條件的k不存在，所以滿足條件的A不存在.