Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn),且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，M、N是橢圓上的的動(dòng)點(diǎn).
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，直線與的斜率之積為，證明：存在定點(diǎn)使
得為定值，并求出的坐標(biāo)；
（3）若在第一象限，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，垂直于軸于點(diǎn)，連接 并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，記直線的斜率分別為，證明：.

Answer 1

（1）；（2）存在使得;（3）證明過程詳見試題解析.

試題分析：（1）由雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合求出橢圓中的，再由，求出所求橢圓方程為；（2）先設(shè)，由,結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以得到使得為定值；（3）要證明就是要考慮,詳見解析.
試題解析：（1）由題設(shè)可知：因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為，
所以橢圓中的又由橢圓的長(zhǎng)軸為4得
故   
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 
（2）設(shè)，
由可得：
   
由直線OM與ON的斜率之積為可得：
 ，即  
由①②可得： 
M、N是橢圓上的點(diǎn)，故
故，即 
由橢圓定義可知存在兩個(gè)定點(diǎn)，
使得動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離和為定值;
（3）設(shè)，由題設(shè)可知 ，
由題設(shè)可知斜率存在且滿足.
  
將③代入④可得：⑤
點(diǎn)在橢圓，
故