Question

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，傾斜角為的直線過點(diǎn).
（1）求該橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，問拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得與關(guān)于直線對稱，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）拋物線上存在一點(diǎn)，使得與關(guān)于直線對稱．

試題分析：（1）求橢圓的方程，可利用待定系數(shù)法求出的值即可，首先確定拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程為，利用橢圓焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，得，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，得交點(diǎn)為，建立方程，求出的值，即可求得橢圓的方程；（2）根據(jù)傾斜角為的直線過點(diǎn)，可得直線的方程，由（1）知橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，利用與關(guān)于直線對稱，利用對稱，可求得的坐標(biāo)，由此可得結(jié)論．
試題解析：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
∴    ①                         2分
又橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，
∴ 得上交點(diǎn)為，∴    ②         4分
由①代入②得，解得或（舍去），
從而 
∴該橢圓的方程為該橢圓的方程為         6分
（2）∵ 傾斜角為的直線過點(diǎn)，
∴ 直線的方程為，即，         7分
由（1）知橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)與關(guān)于直線對稱，則得  ，                     9分
解得，即，                    2分
又滿足，故點(diǎn)在拋物線上。所以拋物線上存在一點(diǎn)，使得與關(guān)于直線對稱。             13分