Question

【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.

（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式：時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得所求；

（2）求得，運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．

（1）（n∈N*），

可得n＝1時(shí)，S1+1＝2a1，

即a1＝1，

當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1，

Sn+n＝2an，Sn﹣1+n﹣1＝2an﹣1，

相減可得an+1＝2an﹣2an﹣1，

可得an＝2an﹣1+1，即an+1＝2（an﹣1+1），

則數(shù)列{an+1}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，

可得an+1＝2n，即an＝2n﹣1；

（2）

前n項(xiàng)和為Tn＝①

2Tn＝②

兩式相減可得﹣Tn＝2+2(22+…+2n)﹣=

化簡(jiǎn)可得