Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過原點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn)，四邊形的周長(zhǎng)與面積分別為8與 .

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，求證：到直線的距離為定值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)利用四邊形的周長(zhǎng)和橢圓的定義得到，再利用四邊形的面積公式和點(diǎn)在橢圓上求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、平面向量的數(shù)量積為0進(jìn)行求解.

試題解析：(Ⅰ)不妨設(shè)點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)，依題可得.

∵.

∵.

∵點(diǎn)在橢圓上，，解得，或（舍）,

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(Ⅱ)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為,

由消去得,

設(shè)則,

∵,

即,即,

到直線的距離為.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.

由橢圓的對(duì)稱性易知到直線的距離為.

到直線的距離為定值.