Question

【題目】試求最小的正整數(shù)，使得對于任何個(gè)連續(xù)正整數(shù)中，必有一數(shù)，其各位數(shù)字之和是7的倍數(shù)．

Answer 1

【答案】13

【解析】

首先，可以指出12個(gè)連續(xù)正整數(shù)，例如，994，995，…，999，1000，1001，…，1005，其中任意一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和都不是7的倍數(shù)，因此，

再證，任何連續(xù)13個(gè)正整數(shù)中，必有一個(gè)數(shù)，其各位數(shù)字之和是7的倍數(shù)．

對每個(gè)非負(fù)整數(shù)，稱如下10個(gè)數(shù)所構(gòu)成的集合

為一個(gè)“基本段”．13個(gè)連續(xù)正整數(shù)，要么屬于兩個(gè)基本段，要么屬于三個(gè)基本段．

當(dāng)13個(gè)數(shù)屬于兩個(gè)基本段時(shí)，根據(jù)抽屜原理，其中必有連續(xù)的7個(gè)數(shù)屬于同一個(gè)基本段；

當(dāng)13個(gè)連續(xù)數(shù)屬于三個(gè)基本段時(shí)，其中必有連續(xù)的10個(gè)數(shù)同屬于．現(xiàn)在設(shè)

是屬于同一個(gè)基本段的7個(gè)數(shù)，它們的各位數(shù)字之和分別是

顯然，這7個(gè)和數(shù)被7除的余數(shù)互不相同，其中必有一個(gè)是7的倍數(shù)．

因此，所求的最小值為