Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求證：AA1⊥平面ABC；

（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（Ⅲ）證明：在線段BC1存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】把平面與平面垂直轉(zhuǎn)化為直線和平面垂直.要證直線和平面垂直，依據(jù)相關(guān)判定定理轉(zhuǎn)化為證明直線和直線垂直.求二面角，往往利用“作——證——求”的思路完成，作二面角是常常利用直線和平面垂直.第（Ⅲ）題，求解有難度，可以空間向量完成.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>為正方形，所以.

因?yàn)槠矫?/span>ABC⊥平面AA1C1C，，且平面ABC平面AA1C1C ，

所以⊥平面ABC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ⊥AC, ⊥AB.

由題意知，所以.

如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則.

設(shè)平面的法向量為，則即

令，則，所以.

同理可得，平面的法向量為.

所以.

由題知二面角A1-BC1-B1為銳角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為.

（Ⅲ）設(shè)是直線上的一點(diǎn)，且.

所以，解得，所以.

由，即，解得.

因?yàn)?/span>，所以在線段上存在點(diǎn)D，使得，此時(shí).