Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，設(shè)最小值為，求函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）原問題等價(jià)于對(duì)恒成立，設(shè)，求其最小值即可；

（2）求導(dǎo)得，記，，由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，從而得到當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值；，又因?yàn)?/span>．所以，從而易得函數(shù)的值域.

詳解：（1）因?yàn)?/span>對(duì)恒成立，

等價(jià)于對(duì)恒成立，設(shè)得

，故在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，由上知，所以,即，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（2）對(duì)求導(dǎo)得，

記，，

由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，

所以存在唯一正實(shí)數(shù)，使得，

當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；

時(shí)，，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；

所以在內(nèi)有最小值，

由題設(shè)即．

又因?yàn)?/span>．所以．

根據(jù)（1）知， 在內(nèi)單調(diào)遞增，，

所以．令，則

，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以，

即函數(shù)的值域?yàn)?/span>．