Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論在上的零點個數(shù)；

（2）當時，若存在，使，求實數(shù)的取值范圍.（為自然對數(shù)的底數(shù)，其值為2.71828……）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）構造函數(shù)，先將討論在上的零點個數(shù)問題，轉化為討論直線與曲線的交點個數(shù)問題，用導數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性，求出值域，即可得出結果；

（2）根據(jù)（1）的結果，由求出零點，得到，再由題意得到成立，構造函數(shù)，用導數(shù)方法研究其單調(diào)性，進而可求出結果.

（1）由得，令，

因此討論在上的零點個數(shù)，即是討論直線與曲線的交點個數(shù)，

∵，在上恒成立，

故在上單調(diào)遞增，，

又連續(xù)不斷，所以當時，在上無零點；

當時，在上存在一個零點.

（2）當時，由（1）得在上存在一個零點，

由得，

由（1）可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

所以，

又存在，使成立，

所以，只需成立，即不等式成立，

令，

則，

易知在上恒成立，

故在上單調(diào)遞增

又，所以.

故實數(shù)的取值范圍為.