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        1. 【題目】已知點P( ,1)和橢圓C: + =1.
          (1)設橢圓的兩個焦點分別為F1 , F2 , 試求△PF1F2的周長及橢圓的離心率;
          (2)若直線l: x﹣2y+m=0(m≠0)與橢圓C交于兩個不同的點A,B,設直線PA與PB的斜率分別為k1 , k2 , 求證:k1+k2=0.

          【答案】
          (1)解:橢圓C: + =1的a=2,b= ,c= = ,

          點P( ,1)在橢圓C上,由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|=2a=4,

          △PF1F2的周長為2a+2c=4+2

          橢圓的離心率為e= = ;


          (2)證明:聯(lián)立直線 x﹣2y+m=0和橢圓x2+2y2=4,

          可得4x2+2 mx+m2﹣8=0,

          由直線與橢圓有兩個交點,且直線不過點P,

          可得△=8m2﹣4×4(m2﹣8)>0,且m≠0,

          解得﹣4<m<0或0<m<4.

          設A(x1,y1),B(x2,y2),

          則x1+x2=﹣ m,x1x2= ,

          y1= ,y2= ,

          則k1+k2= + = +

          = + + = +

          = + = =0.


          【解析】(1)求得橢圓的a,b,c,可得P在橢圓上,運用橢圓的定義,即可得到△PF1F2的周長和橢圓的離心率;(2)聯(lián)立直線和橢圓方程,可得x的二次方程,運用判別式大于0,以及韋達定理,結合直線的斜率公式,化簡整理,即可得證.

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