Question

【題目】已知點P（ ，1）和橢圓C： + =1．
（1）設橢圓的兩個焦點分別為F1 ， F2 ， 試求△PF1F2的周長及橢圓的離心率；
（2）若直線l： x﹣2y+m=0（m≠0）與橢圓C交于兩個不同的點A，B，設直線PA與PB的斜率分別為k1 ， k2 ， 求證：k1+k2=0．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓C： + =1的a=2，b= ，c= = ，

點P（ ，1）在橢圓C上，由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|=2a=4，

△PF1F2的周長為2a+2c=4+2 ；

橢圓的離心率為e= = ；

（2）證明：聯(lián)立直線 x﹣2y+m=0和橢圓x2+2y2=4，

可得4x2+2 mx+m2﹣8=0，

由直線與橢圓有兩個交點，且直線不過點P，

可得△=8m2﹣4×4（m2﹣8）＞0，且m≠0，

解得﹣4＜m＜0或0＜m＜4．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=﹣ m，x1x2= ，

y1= ，y2= ，

則k1+k2= + = +

= + + = +

= + = ﹣ =0．

【解析】（1）求得橢圓的a，b，c，可得P在橢圓上，運用橢圓的定義，即可得到△PF1F2的周長和橢圓的離心率；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，可得x的二次方程，運用判別式大于0，以及韋達定理，結(jié)合直線的斜率公式，化簡整理，即可得證．