Question

【題目】斜率為 的直線l與橢圓 + =1（a＞b＞0）交于不同的兩點(diǎn)A、B．若點(diǎn)A、B在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若△PAB面積最大值是4 ，求該橢圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知：直線與橢圓兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣c，c，縱坐標(biāo)分別為﹣ ， ，

∴由 =

轉(zhuǎn)化為：2b2=2（a2﹣c2）= ac

即2e2+ e﹣2=0，

解得e= ，e=﹣ （負(fù)根舍去），

∴橢圓的離心率為e= ；

（2）解：∵P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大值是4 時(shí)，

有 |AB|h=4 ，

∵e= ，∴b=c，

∴a= c；

∴設(shè)橢圓的方程為 + =1，

則|AB|= c，

∴三角形PAB的高為h= ；

又直線為y= x，

即 x﹣2y=0；

則點(diǎn)P（ ccosθ，csinθ）到直線的距離表示為

d= = ≤ ，

令 = ，

解得c=2，

∴橢圓的方程為 + =1．

【解析】（1）畫出圖形，結(jié)合圖形，得出直線與橢圓兩交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式，求出離心率e；（2）由（1）知，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 + =1，求出|AB|的值，利用三角形的面積求出高h(yuǎn)；再求點(diǎn)P到直線的最大距離d，由此求出c即可．
【考點(diǎn)精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．