Question

【題目】已知函數(shù)；.

（1）判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

（2）求的極值；

（3）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）極小值.（3）

【解析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)性，（2）利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，即得函數(shù)極值，（3）先根據(jù)特殊值得，再由（1）得，結(jié)合得,因此，最后利用（2）證明滿足條件.

解：（1）∵，

則.

當(dāng)時(shí)，，，得，

∴在上單調(diào)遞減.

（2）∵，

則，

令，則.

∴即在上單調(diào)遞增.

又，

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴有極小值.

（3）令，

即對(duì)成立.

①時(shí)，與矛盾，不成立.

②時(shí)，當(dāng)時(shí)，

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，

又，∴，即.

由（2）知.

當(dāng)時(shí)，，而，等號(hào)不同時(shí)成立，

∴.

③時(shí)，若，則，

即，

由（1）知，

即.

∴，

∴不成立.

綜上，的取值范圍為.