Question

【題目】如圖，三棱錐的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是的等邊三角形， ， 分別為， 的中點(diǎn)．

（I）求的長(zhǎng)．

（II）求證： ．

（III）求三棱錐的表面積．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)詳見(jiàn)解析;(3) .

【解析】試題分析:(1) 連接， ，等邊中， ， ，同理可得，等腰中， ， ;(2)由線面垂直的判定定理證明平面，則;(3) 三棱錐的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，底面仍為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，分別求出各面的面積求和即三棱錐的表面積.

試題解析:

（I）連接， ，

∵在等邊中，

是邊上中點(diǎn)，

∴，

，

同理可得，

在等腰中，

為邊上中點(diǎn)，

∴，

∴．

（II）證明：∵， ，

點(diǎn)，

、平面，

∴平面，

∴．

（III）∵三棱錐的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，

則底面中， ，

∴底面仍為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，

∴表面積．