Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).

（1）求證：PB∥平面AEC；

（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；

（3）當(dāng)PA=AB=2，∠ABC=時(shí)，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）由中位線定理以及線面平行的判定定理證明即可；

（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理以及面面垂直的判定定理證明即可；

（3）利用三角形面積公式得出的面積，再由棱錐的體積公式求解即可.

（1）取AC、BD中點(diǎn)為O，連接EO.

證明：∵底面ABCD為菱形且O為AC、BD的交點(diǎn)

∴O為BD中點(diǎn).∵E為PD中點(diǎn)，∴.

∵平面ABC，平面AEC，∴平面AEC.

（2）∵底面ABCD為菱形，∴.

∵平面ABCD，平面ABCD，∴.

∵，平面，∴平面PAC.

∵平面PBD，∴平面平面PBD.

（3）∵，∴

∵，∴.

∴.

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