Question

(16)已知函數(shù)f(x)=ax³+bx²+cx在點(diǎn)x₀處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，(2，0)，如圖所示.求：

(Ⅰ)x₀的值；

(Ⅱ)a，b，c的值.

Answer 1

解法一：

(Ⅰ)由圖象可知，在(-∞，1)上f′(x)＞0，在(1，2)上f′(x)＜0，

在(2，+∞)上f′(x)＞0，

故f(x)在(-∞，1)，(2，+∞)上遞增，在(1，2)上遞減，

因此f(x)在x=1處取得極大值，所以x₀=1.

(Ⅱ)f′(x)=3ax²+2bx+c，

由f′(1)=0，f′(2)=0，f(1)=5，

得

解得a=2，b= -9，c=12.

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)設(shè)f′(x)=m(x-1)(x-2)=mx²-3mx+2m，

又f′(x)=3ax²+2bx+c，

所以a=，b= -m，c=2m，

f(x)=mx²+2mx.

由f（1）=5，

即m+2m=5，

得m=6，

所以a=2，b= -9，c=12