Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)和為30，且a₂為a₁和a₄的等比中項(xiàng)．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及前n項(xiàng)和S_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足

bn+1

bn

=

Sn

n

（n∈N^*），且b₁=1，求數(shù)列{

n

bn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及前n項(xiàng)和S_n；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法即可求出數(shù)列的和．

解答： 解：（1）設(shè)公差為d（d≠0），則

5a1+10d=30 (a1+d)2=a1(a1+3d)

⇒

a1=2 d=2

，
∴a_n=2n，S_n=n（n+1）；
（2）由（1）

bn+1

bn

=

Sn

n

=n+1，
當(dāng)n≥2時(shí)，

bn

b1

=

b2

b1

?

b3

b2

???

bn

bn-1

=2?3?4???n=n!，
則b_n=n!，則

n

bn+1

=

n

(n+1)!

=

n+1-1

(n+1)!

=

1

n!

-

1

(n+1)!

，
∴數(shù)列{

n

bn+1

}的前n項(xiàng)和Tn=(

1

1!

-

1

2!

)+(

1

2!

-

1

3!

)+(

1

3!

-

1

4!

)+???+(

1

n!

-

1

(n+1)!

)=1-

1

(n+1)!

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的計(jì)算，以及利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力．