Question

在圖的幾何體中，面ABC∥面DEFG，∠BAC=∠EDG=120°，四邊形ABED是矩形，四邊形ADGC是直角梯形，∠ADG=90°，四邊形DEFG是梯形，EF∥DG，AB=AC=AD=EF=1，DG=2．
（1）求證：FG⊥面ADF；
（2）求四面體CDFG的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先，作DG的中點(diǎn)為H，證明四邊形DEFH為平行四邊形，然后，得到AD⊥平面EDGF，從而得證；
（2）先證明CO⊥平面EDGF，（取DG的中點(diǎn)為O），得到△DEF正三角形，然后，結(jié)合四面體CDFG的體積V=

1

3

S_△DFG•CO進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）連接DF，AF，作DG的中點(diǎn)為H，連接EH，
∵EF∥DK，EF=DH=ED=1，
∴四邊形DEFH為菱形，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四邊形DEFH為平行四邊形，
∴FG∥EH，
∴FG⊥DF，
∵∠ADG=90°，AD⊥DG，AD⊥ED，
∴AD⊥平面EDGF，
∴AD⊥FG，
∵FG⊥DF，AD∩DF=D，
∴FG⊥面ADF；
（2）取DG的中點(diǎn)為O，連接FO，CO，F(xiàn)D，
∵DO∥AC，DO=AC，
∴ADOC平行四邊形，
∴CO∥AD，CO=AD=1，
根據(jù)（1）知，AD⊥平面EDGF，
∴CO⊥平面EDGF，
∴ED=EF=1，∠DEF=60°，
∴△DEF正三角形，
∴DF=1，∠FDG=60°，
∴S_△DFG=

1

2

•DF•DG•sin∠FDG=

3

2

，
∴四面體CDFG的體積V=

1

3

S_△DFG•CO=

1

3

×

3

2

×1=

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了空間中平行關(guān)系和垂直關(guān)系的判斷方法、空間幾何體的體積求解等知識(shí)，屬于中檔題．