Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1，直線l：y=ax+b（a，b∈R）
（1）請你給出a，b的一組值，使直線l和橢圓C相交
（2）直線l和橢圓C相交時，a，b應滿足什么關系？
（3）若a+b=1，試判斷直線l和橢圓C的位置關系；
（4）請你在第（3）問的基礎上添加一個合適的條件，求出直線l的方程，
（5）先將試題中的橢圓方程改為雙曲線方程

x2

4

-

y2

2

=1，或改為拋物線方程y²=4x，再在第（4）問添加的條件中選擇一個，求出直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）取a=1，b=0，則直線l：y=x和橢圓C相交；
（2）直線l：y=ax+b代入橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1，利用直線l和橢圓C相交，可得△＞0，即可確定a，b應滿足的關系；（3）由a+b=1，可得直線l恒過（1，1），進而可得（1，1）在橢圓內(nèi)，即可判斷直線l和橢圓C恒相交；
（4）添加條件：直線l過點（2，0），則a=-1，可求直線l的方程；
（5）橢圓方程改為雙曲線方程

x2

4

-

y2

2

=1，或改為拋物線方程y²=4x，添加條件：直線l過點（2，0），可得直線l的方程．

解答：解：（1）取a=1，b=0，則直線l：y=x和橢圓C相交；
（2）直線l：y=ax+b代入橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1，可得（1+2a²）x²+4abx+2b²-4=0
∵直線l和橢圓C相交，∴△=（4ab）²-4（1+2a²）（2b²-4）＞0，∴b²-4a²-2＜0
（3）∵a+b=1，∴b=1-a，∴y=ax+1-a，即y-1=a（x-1），∴直線l恒過（1，1）
（1，1）代入橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1，可得

x2

4

+

y2

2

＜1，所以（1，1）在橢圓內(nèi)
所以直線l和橢圓C恒相交；
（4）添加條件：直線l過點（2，0），則a=-1，∴直線l的方程為x+y-2=0；
（5）橢圓方程改為雙曲線方程

x2

4

-

y2

2

=1，或改為拋物線方程y²=4x，添加條件：直線l過點（2，0），則a=-1，∴直線l的方程為x+y-2=0．

點評：本題是開放題，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．