Question

（2013•房山區(qū)一模）已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1和點P（4，0），垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，連結PB交橢圓C于另一點E．
（Ⅰ）求橢圓C的焦點坐標和離心率；
（Ⅱ）證明直線AE與x軸相交于定點．

Answer 1

分析：（I）由橢圓的標準方程得到：a²=4，b²=3，c²=a²-b²，即可得到焦點坐標和離心率；
（II）由題意知：直線PB的斜率存在，設直線PB的方程為y=k（x-4），設B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則A（x₁，-y₁）．把直線PB的方程與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，寫出直線AE的方程，并令y_A=0，即可得到點A的橫坐標的表達式，把根與系數的關系式代入即可證明．

解答：（Ⅰ）解：由題意知：a²=4，b²=3，∴c²=a²-b²=1，得到c=1．
∴焦點坐標為（±1，0）；
  離心率e=

c

a

=

1

2

．
（Ⅱ）證明：由題意知：直線PB的斜率存在，設直線PB的方程為y=k（x-4）
設B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則A（x₁，-y₁）．
由

y=k(x-4) 3x2+4y2=12

得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
則x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

…（1）
直線AE的方程為y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，
令y=0，得x=x2-

y2(x2-x1)

y1+y2

…（2）
又y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入（2）式，得x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

…（3）
把（1）代入（3）式，整理得x=1
所以直線AE與x軸相交于定點（1，0）．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為直線PB的方程與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系是解題的關鍵．