Question

已知橢圓C：

x2

4

+y2=1，直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）試探究：點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
（2）求△AOB面積S的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分類討論：①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，由橢圓的對稱性，可求原點(diǎn)O到直線的距離；②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到結(jié)論；
（2）利用三角函數(shù)表示出|OA|，|OB|，進(jìn)而可求|OA||OB|的最小值，從而可求△AOB面積S的最小值．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，由橢圓的對稱性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁²-y₁²=0
∵x₁²+4y₁²=4，∴|x₁|=|y₁|=

2 5

5

∴原點(diǎn)O到直線的距離為d=|x₁|=

2 5

5

②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消元可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

∵以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）

4m2-4

1+4k2

-km×

8km

1+4k2

+m²=0
∴5m²=4（k²+1）
∴原點(diǎn)O到直線的距離為d=

|m|

k2+1

=

2 5

5

綜上，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；
（2）由（1）可知，在直角△OAB中，點(diǎn)O到直線AB的距離|OH|=

2 5

5

，設(shè)∠OAH=θ，則∠BOH=θ
∴|OA|=

|OH|

sinθ

，|OB|=

|OH|

cosθ

∴|OA||OB|=

8 5

sin2θ

∴2θ=

π

2

，即θ=

π

4

時(shí)，|OA||OB|取得最小值為

8

5

∴△AOB面積S的最小值為

4

5

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓與橢圓的綜合，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．