Question

（2012•安徽模擬）已知橢圓C：

x2

4

+y2=1，直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，

OA

•

OB

=0（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）試探究：點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）點(diǎn)O到直線AB的距離是定值．設(shè)A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則由橢圓的對(duì)稱性可知，x₁=x₂，y₁=-y₂，此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離d=|x₁|=

2 5

5

；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，與橢圓C：

x2

4

+y2 =1聯(lián)立，得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得到O到直線AB的距離d=

|m|

k2+1

=

2 5

5

．由此能求出點(diǎn)O到直線AB的距離為定值

2 5

5

．
（Ⅱ）（法一：參數(shù)法）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線OA的斜率為k（k≠0），則OA的方程為y=kx，OB的方程為y=-

1

k

x，解方程組

y=kx x2 4 +y2=1

，得

x12= 4 1+4k2 y12= 4k2 1+4k2

，同理可求得

x22= 4k2 4+4k2 y22= 4 4+4k2

，由此能推導(dǎo)出|OA|•|OB|的最小值．
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直線AB的距離d=

|m|

k2+1

=

2 5

5

．在Rt△OAB中，d=

|OA|×|OB|

|OA|2+|OB|2

，故有

|OA|×|OB|

|OA|2+|OB|2

=

2 5

5

，由此能求出|OA|•|OB|的最小值．
法三：（三角函數(shù)法）由（Ⅰ）知，在Rt△OAB中，點(diǎn)O到直線AB的距離|OH|=

2 5

5

．設(shè)∠OAH=θ，則∠BOH=θ，故|OA|=

|OH|

sinθ

，|OB|=

|OH|

cosθ

．所以，|OA|×|OB|=

|OH|2

sinθcosθ

=

8 5

sin2θ

，由此能求出|OA|•|OB|的最小值．

解答：解：（Ⅰ）點(diǎn)O到直線AB的距離是定值．
設(shè)A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則由橢圓的對(duì)稱性可知，x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，也就是x12-y12=0，代入橢圓方程解得：|x1| =|y1| =

2 5

5

．
此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離d=|x₁|=

2 5

5

．…（2分）
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
與橢圓C：

x2

4

+y2 =1聯(lián)立，
消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

，…（3分）
因?yàn)镺A⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以（1+k²）x1x2+km(x1+x2)+m2=0，…（4分）
代入得：(1+k2)

4m2-4

1+4k2

-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
整理得5m²=4（k²+1），…（5分）
O到直線AB的距離d=

|m|

k2+1

=

2 5

5

．
綜上所述，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值

2 5

5

．…（6分）
（Ⅱ）（法一：參數(shù)法）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線OA的斜率為k（k≠0），則OA的方程為y=kx，OB的方程為y=-

1

k

x，
解方程組

y=kx x2 4 +y2=1

，得

x12= 4 1+4k2 y12= 4k2 1+4k2

，
同理可求得

x22= 4k2 4+4k2 y22= 4 4+4k2

，
故|OA|•|OB|=

1+k2

|x1| 

1+ 1 k2

|x2|
=4 

(1+k2)2 (1+4k2)(k2+4)

．…（9分）
令1+k²=t（t＞1），則|OA|•|OB|=4

t2 4t2+9t-9

=4

1 - 9 t2 + 9 t +4

，
令g(t)=-

9

t2

+

9

t

+4=-9(

1

t

-

1

2

)2+

25

4

（t＞1），所以4＜g（t）≤

25

4

，即

8

5

≤|OA|•|OB|＜2．…（11分）
當(dāng)k=0時(shí)，可求得|OA|•|OB|=2，故

8

5

≤|OA|•|OB|≤2，故|OA|•|OB|的最小值為

8

5

，最大值為2．…（13分）
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直線AB的距離d=

|m|

k2+1

=

2 5

5

．
在Rt△OAB中，d=

|OA|×|OB|

|OA|2+|OB|2

，故有

|OA|×|OB|

|OA|2+|OB|2

=

2 5

5

，
即(|OA|×|OB|)2=

4

5

(|OA|+|OB| 2)，…（9分）
而|OA|²+|OB|²≥2|OA|×|OB，（當(dāng)且僅當(dāng)|OA|=|OB|時(shí)取等號(hào)）
代入上式可得：(|OA|+|OB|)2=

4

5

(|OA|2+|OB|2)≥

8

5

|OA|×|OB|，
即|OA|×|OB|≥

8

5

，（當(dāng)且僅當(dāng)|OA|=|OB|時(shí)取等號(hào)）．…（11分）
故|OA|•|OB|的最小值為

8

5

．…（13分）
法三：（三角函數(shù)法）由（Ⅰ）可知，如圖，在Rt△OAB中，點(diǎn)O到直線AB的距離|OH|=

2 5

5

．
設(shè)∠OAH=θ，則∠BOH=θ，故|OA|=

|OH|

sinθ

，|OB|=

|OH|

cosθ

．…（9分）
所以，|OA|×|OB|=

|OH|2

sinθcosθ

=

8 5

sin2θ

，…（11分）
顯然，當(dāng)2θ=

π

2

，即θ=

π

4

時(shí)，|OA|•|OB|取得最小值，最小值為

8

5

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題探究點(diǎn)到直線的距離是否為定值，求線段乘積的最小值．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．