Question

【題目】如圖，已知橢圓上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線與圓相切，其中.

（1）求橢圓的方程；

（2）不過點(diǎn)A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且，證明：動直線l過定點(diǎn)，并且求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）確定圓M的圓心與半徑，利用直線AF與圓M相切關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式構(gòu)建方程，求得a，即可表示方程；

（2）設(shè)直線AP的方程為，則直線AQ的方程為，分別于橢圓聯(lián)立方程求得交點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，即可表示直線l的方程，得答案.

（1）由題可知，，則直線的方程為，即

因?yàn)橹本�與圓相切，該圓的圓心為

則

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）因?yàn)椴贿^點(diǎn)A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且，即直線AP與坐標(biāo)軸不垂直也不平行

由可設(shè)直線AP的方程為，則直線AQ的方程為

聯(lián)立，消去y并整理得，解得或，

因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即

將上式中的k換成，得點(diǎn)Q

所以直線l的斜率為，

即直線l的方程為，

化簡并整理得，

故直線l恒過定點(diǎn)