Question

（2013•湛江一模）“a²-a=0”是“函數(shù)f（x）=x³-x+a是增函數(shù)”的（　�。�

A．充要條件

B．充分而不必要條件

C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：由題意，可先證明“a²-a=0”時(shí)“函數(shù)f（x）=x³-x+a是增函數(shù)”是否成立，驗(yàn)證充分性，再有“函數(shù)f（x）=x³-x+a是增函數(shù)”出發(fā)證明“a²-a=0”是否成立，即可得出正確答案

解答：解：由a²-a=0可得a=1，或a=0，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³-x，此時(shí)f′（x）=3x²-1，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得-

3

3

＜x＜

3

3

，即函數(shù)f（x）=x³-x+a在（-

3

3

，

3

3

）是減函數(shù)，
當(dāng)a=1時(shí)，同理可得出函數(shù)f（x）=x³-x+a在（-

3

3

，

3

3

）是減函數(shù)，
所以當(dāng)a=1，或a=0時(shí)，得不出函數(shù)f（x）=x³-x+a是增函數(shù)，所以充分性不成立
由于函數(shù)f（x）=x³-x+a是增函數(shù)與a的取值無(wú)關(guān)，故不能得出a²-a=0，必要性不成立
綜上證明知，“a²-a=0”是“函數(shù)f（x）=x³-x+a是增函數(shù)”的即不充分也不必要條件
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查充分條件與必要條件的證明，解題的關(guān)鍵是分清條件與結(jié)論，明確充分性與必要性的證明方向