Question

（2013•湛江一模）已知函數(shù)f（x）=e^x-1，g(x)=

x

+x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底，e=2.71828…．
（1）證明：函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間（1，2）上有零點(diǎn)；
（2）求方程f（x）=g（x）根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）若數(shù)列{a_n}（n∈N*）滿足a₁=a（a＞0）（a為常數(shù)），a_n+1³=g（a_n），證明：存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意n∈N*，都有a_n≤M．

Answer 1

分析：（1）直接利用零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間（1，2）上有零點(diǎn)即可；
（2）通過(guò)方程f（x）=g（x）構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-1-

x

-x，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理說(shuō)明方程根的個(gè)數(shù)；
（3）直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，證明存在常數(shù)M=max{x₀，a}，使得對(duì)于任意的n∈N^*，都有a_n≤M．

解答：解：（1）證明：由h（x）=f（x）-g（x）=e^x-1-

x

-x，得：
h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2-

2

＞0，
所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（1，2）上有零點(diǎn)．
（2）由（1）得：h（x）=e^x-1-

x

-x，
由g(x)=

x

+x知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，則x=0為h（x）的一個(gè)零點(diǎn)，且h（x）在（1，2）內(nèi)有零點(diǎn)，
因此h（x）至少有兩個(gè)零點(diǎn)．
所以h′(x)=ex-

1

2

x-

1

2

-1，記φ（x）=ex-

1

2

x-

1

2

-1，則φ′(x)=ex+

1

4

x-

3

2

．
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，φ'（x）＞0，因此φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則φ（x）在（0，+∞）內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)．h（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．
所以，方程f（x）=g（x）根的個(gè)數(shù)為2．
（3）記h（x）的正零點(diǎn)為x₀，即ex0-1=x0+

x0

．
（1）當(dāng)a＜x₀時(shí)，由a₁=a，即a₁＜x₀．而a23=a1+

a1

＜x0+

x0

=ex0-1，因此a₂＜x₀，由此猜測(cè)：a_n＜x₀．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁＜x₀顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，有a_k＜x₀成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由ak+13=ak+

ak

＜x0+

x0

=ex0-1知，a_k+1＜x₀，因此，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1＜x₀成立．
故對(duì)任意的n∈N^*，a_n＜x₀成立．
（2）當(dāng)a≥x₀時(shí)，由（1）知，h（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．則h（a）≥h（x₀）=0，即a3≥a+

a

．從而a23=a1+

a1

=a+

a

≤a3，即a₂≤a，由此猜測(cè)：a_n≤a．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁≤a顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，有a_k≤a成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由ak+13=ak+

ak

≤a+

a

≤a3知，a_k+1≤a，因此，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1≤a成立．
故對(duì)任意的n∈N^*，a_n≤a成立．
綜上所述，存在常數(shù)M=max{x₀，a}，使得對(duì)于任意的n∈N^*，都有a_n≤M．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．