Question

已知橢圓C的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0），離心率

2

2

，直線y=x-1與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求弦AB的長度．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓C的方程，利用已知條件列出

c=2 e= c a = 2 2

，求出a，c然后求解b，得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式直接求弦AB的長度．

解答：（本小題滿分13分）
解：（1）依題意可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)…（1分）
則

c=2 e= c a = 2 2

，解得

a=2 2 c=2

…（3分）
∴b²=a²-c²=8-4=4…（5分）
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1…（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）…（7分）
聯(lián)立方程

x2 8 + y2 4 =1 y=x-1

，消去y，并整理得：3x²-4x-6=0…（9分）
∴

x1+x2= 4 3 x1•x2=-2

…（10分）

∴|AB|= 1+12 |x2-x1|= 2[(x1+x2)2-4x1x2]  = 2[( 4 3 )2-4×(-2)] = 4 11 3

…（12分）
∴|AB|=

4 11

3

…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，弦長公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．