Question

【題目】如圖，三棱柱中，，.

（1）證明：；

（2）若，在線段上是否存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，

【解析】

（1）取的中點(diǎn),連接,由題可得為等邊三角形,則,利用平行的傳遞性可得,則平面,進(jìn)而,由三角形的性質(zhì)即可得證；

（2）設(shè),則,易得以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由平面的法向量和平面的法向量,利用數(shù)量積求得夾角,進(jìn)而求解即可.

（1）證明:取的中點(diǎn),連接,

∵,,

∴為等邊三角形,∴,

又∵,,∴,

又,∴平面,

又平面,∴,

∵為中點(diǎn),∴

（2）存在,

設(shè),則,

∵,∴,又,∴,

以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,

則,

因?yàn)?/span>在線段上,設(shè),

則,

設(shè)平面的法向量為,則由,即,

取,則,

易知平面的法向量為,

當(dāng),即時(shí),二面角的平面角為,

則,解得或（舍）,

所以存在點(diǎn)滿足條件,這時(shí)