Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，是與的等差中項(xiàng)，其中、、都是正數(shù)，過(guò)點(diǎn)和的直線(xiàn)與原點(diǎn)的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，求△面積的最大值；

（3）已知定點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于、相異兩點(diǎn).證明：對(duì)任意的，都存在實(shí)數(shù)，使得以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由是與的等差中項(xiàng)得到，設(shè)出直線(xiàn)的方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，列出方程，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）當(dāng)橢圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離最大時(shí)，△面積取得最大值，設(shè)出平行直線(xiàn)，即可得到結(jié)論；

（3）將直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理及向量知識(shí)，結(jié)合判別式，即可得到結(jié)論.

（1）由是與的等差中項(xiàng)，可得

過(guò)點(diǎn)和的直線(xiàn)方程為，即，

又由該直線(xiàn)與原點(diǎn)的距離為，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得

解得，所以橢圓方程為.

（2）由（1）得，直線(xiàn)的方程為，且，

當(dāng)橢圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離最大時(shí)，△面積取得最大值

設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程為，

將其代入橢圓方程，得，

由，解得，

當(dāng)時(shí)，橢圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離最大為，

此時(shí)△面積為.

（3）將代入橢圓方程，得，

由直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得

設(shè)、，則，，

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，所以，即，

而，

所以，解得，

如果對(duì)任意的都成立，則存在，使得以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>，即，

所以對(duì)任意的，都存在使得以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn).