Question

已知正數(shù)x，y，z滿足5x+4y+3z=10．
（1）求證：

25x 2

4y+3z

+

16y2

3z+5x

+

9z2

5x+4y

≥5；
（2）求9x2+9y2+z2的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)柯西不等式，得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][

25x2

4y+3z

+

16y2

3z+5x

+

9z2

5x+4y

]≥（5x+4y+3z）²
因為5x+4y+3z=10，從而得出結(jié)論．
（2）先根據(jù)均值不等式，得9x2+9y2+z2≥2

9x2•9y2+z2

=2•3x2+y2+z2，再根據(jù)柯西不等式，得（x²+y²+z²）（5²+4²+3²）≥（5x+4y+3z）²即可求出最小值．

解答：解：（1）根據(jù)柯西不等式，得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][

25x2

4y+3z

+

16y2

3z+5x

+

9z2

5x+4y

]≥（5x+4y+3z）²
因為5x+4y+3z=10，所以

25x2

4y+3z

+

16y2

3z+5x

+

9z2

5x+4y

≥

102

20

=5．
（2）根據(jù)均值不等式，得9x2+9y2+z2≥2

9x2•9y2+z2

=2•3x2+y2+z2，
當且僅當x²=y²+z²時，等號成立．
根據(jù)柯西不等式，得（x²+y²+z²）（5²+4²+3²）≥（5x+4y+3z）²=100，
即  （x²+y²+z²）≥2，當且僅當

x

5

=

y

4

=

z

3

時，等號成立．
綜上，9x2+9y2+z2≥2•32=18．

點評：本小題主要考查一般形式的柯西不等式、均值不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．