Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)的兩個零點為，試判斷的正負，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）結(jié)論是.

【解析】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得；（2）分離參數(shù)得可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)令的最小值即可；（3），證明見解析。

試題解析：

（1）由題意得，因函數(shù)在處的切線方程為，

所以，得.

（2）不等式整理可得，

令，

所以，得，

當時， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

同理，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.

（3）結(jié)論是.

證明：由題意知函數(shù)，所以，

易得函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以只需證明即可.

因為是函數(shù)的兩個零點，所以，相減得，

不妨令，則，則，所以， ，

所以，故只需證，即證，

因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，

綜上所述，函數(shù)總滿足成立.