Question

【題目】（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù).

(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若關(guān)于的方程有3個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)已知當(dāng)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是;當(dāng)；當(dāng);（2）;(3) .

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得極值；（2）本題轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為三時(shí)的范圍，由（1）得的大致形狀，可得的取值范圍；（3）不等式可轉(zhuǎn)化為在恒成立，即求的最小值即可.

(1)

∴當(dāng)，

∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，

單調(diào)遞減區(qū)間是

當(dāng)；當(dāng)

(2)由（1）的分析可知圖象的大致形狀及走向（圖略）

∴當(dāng)的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn)，

即方程有三解.

(3)

∵上恒成立

令，由二次函數(shù)的性質(zhì)， 上是增函數(shù)，

∴∴所求k的取值范圍是.