Question

已知橢圓

x2

5

+

y2

4

=1，過右焦點F₂的直線l交橢圓于A、B兩點，若|AB|=

16 5

9

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：先根據(jù)通徑長是

8

5

故所求直線斜率存在，設出直線方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程，消去x得到關于y的一元二次方程，再結合韋達定理以及兩點間的距離公式求出|AB|的長；最后與條件|AB|=

16 5

9

聯(lián)立，即可求直線l的方程．

解答：解：由題可知：通徑長是

8

5

故所求直線斜率存在
設直線l方程為x=ty+1
由

x=ty+1 x2 5 + y2 4 =1

可得（4t²+5）y²+8ty-16=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則

y1+y2=- 8t 4t2+5 y1y2=- 16 4t2+5

∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 10

9

∴|AB|=

(1+t2)(y2-y1)2

=

(1+t2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

8 5 (t2+1)

4t2+5

=

16 5

9

解得t=±1
所以所求的直線方程為x-y-1=0或x+y-1=0

點評：本題考查橢圓的性質以及橢圓與直線相交的有關性質，涉及直線與橢圓問題，一般要聯(lián)立兩者的方程，轉化為一元二次方程，由韋達定理分析解決．