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        1. 已知橢圓:
          x2
          5
          +y2=1
          中,F(xiàn)1、F2分科技別為左、右焦點(diǎn),過F2作橢圓的弦AB.
          (1)求證:
          1
          |F2A|
          +
          1
          |F2B|
          為定值;
          (2)求△F1AB面積的最大值.
          分析:(1)由題意a2=5,b2=1,可得F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0).若AB斜率存在,設(shè)直線AB:y=k(x-2)與橢圓方程聯(lián)立,進(jìn)而可表示
          1
          |F2A|
          +
          1
          |F2B|
          ,化簡可知為定值.當(dāng)AB⊥x軸時(shí),
          1
          |F2A|
          +
          1
          |F2B|
          =2
          5
          也成立,從而得證.
          (2)設(shè)AB傾斜角為θ,進(jìn)而可得SF1AB=
          4
          5
          sinθ
          cos2θ+5sin2θ
          =
          4
          5
          sinθ
          1+4sin2θ
          .根據(jù)0<θ<π,可得sinθ>0,從而可求△F1AB面積的最大值.
          解答:(1)證明:∵a2=5,b2=1
          ∴F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)
          若AB斜率存在,設(shè)直線AB:y=k(x-2)
          y=k(x-2)
          x2
          5
          +y2=1
          ⇒(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0

          設(shè)A(x1y1),B(x2y2),則:x1+x2=
          20k2
          5k2+1
          x1x2=
          5(4k2-1)
          5k2+1

          |F2A|=a-ex=
          5
          -
          2
          5
          x1,|F2B|=
          5
          -
          2
          5
          x2

          1
          |F2A|
          +
          1
          |F2B|
          =
          2
          5
          -
          2
          5
          (x1+x2)
          5-2(x1+x2)+
          4
          5
          x1x2
          =2
          5
          為定值.
          當(dāng)AB⊥x軸時(shí),
          1
          |F2A|
          +
          1
          |F2B|
          =2
          5
          也成立.
          1
          |F2A|
          +
          1
          |F2B|
          =定值.
          (2)解:設(shè)AB傾斜角為θ
          |AB|=|F2A|+|F2B|=2
          5
          -
          2
          5
          (x1+x2)=
          2
          5
          (1+k2)
          5k2+1
          =
          2
          5
          cos2θ+5sin2θ

          設(shè)F1到AB距離為d.則d=2•csinθ=4sinθ.
          SF1AB=
          4
          5
          sinθ
          cos2θ+5sin2θ
          =
          4
          5
          sinθ
          1+4sin2θ

          ∴0<θ<π
          ∴sinθ>0
          SF1AB=
          4
          5
          1
          sinθ
          +4sinθ
          5

          當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=
          1
          2
          ,即θ=30°或150°,△F1AB面積的最大值為
          5
          點(diǎn)評(píng):本題以橢圓為載體,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查三角形面積的計(jì)算,考查面積最值的求解,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓C1
          x2
          5
          +
          y2
          2
          =1和圓C:x2+y2=4,且圓C與x軸交于A1,A2兩點(diǎn).
          (1)設(shè)橢圓C1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P的圓C上異于A1,A2的動(dòng)點(diǎn),過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓的右準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q,試判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系,并給出證明;
          (2)設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)在直線x+y-3=0上,若存在點(diǎn)N∈C,使得∠OMN=60°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求x0的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          下列五個(gè)命題,其中真命題的序號(hào)是
           
          (寫出所有真命題的序號(hào)).
          (1)已知C:
          x2
          2-m
          +
          y2
          m2-4
          =1
          (m∈R),當(dāng)m<-2時(shí)C表示橢圓.
          (2)在橢圓
          x2
          45
          +
          y2
          20
          =1上有一點(diǎn)P,F(xiàn)1、F2是橢圓的左,右焦點(diǎn),△F1PF2為直角三角形則這樣的點(diǎn)P有8個(gè).
          (3)曲線
          x2
          10-m
          +
          y2
          6-m
          =1(m<6)
          與曲線
          x2
          5-m
          +
          y2
          9-m
          =1(5<m<9)
          的焦距相同.
          (4)漸近線方程為y=±
          b
          a
          x(a>0,b>0)
          的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一定是
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1

          (5)拋物線y=ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,
          1
          4a
          )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓E:
          x2
          5
          +
          y2
          3
          =1

          (1)在直線l:x-y+2=0上取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P且以橢圓E的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓中,求長軸最短的橢圓C的方程;
          (2)設(shè)P,Q,R,N都在橢圓C上,F(xiàn)為右焦點(diǎn),已知
          PF
          FQ
          ,
          RF
          FN
          PF
          RF
          =0,求四邊形PRQN面積S的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知直線y=kx+1與橢圓
          x2
          5
          +
          y2
          m
          =1
          恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( 。
          A、m≥1
          B、m≥1,或0<m<1
          C、0<m<5,且m≠1
          D、m≥1,且m≠5

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          有下列五個(gè)命題:
          ①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題.
          ②在平面內(nèi),F(xiàn)1、F2是定點(diǎn),丨F1F2丨=6,動(dòng)點(diǎn)M滿足丨MF1丨-丨MF2丨=4,則點(diǎn)M的軌跡是雙曲線.
          ③“在△ABC中,“∠B=60°”是“∠A,∠B,∠C三個(gè)角成等差數(shù)列”的充要條件.
          ④“若-3<m<5,則方程
          x2
          5-m
          +
          y2
          m+3
          =1是橢圓”.
          ⑤已知向量
          a
          ,
          b
          ,
          c
          是空間的一個(gè)基底,則向量
          a
          +
          b
          a
          -
          b
          ,
          c
          也是空間的一個(gè)基底.
          ⑥橢圓
          x2
          25
          +
          y2
          9
          =1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5,則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5.
          其中真命題的序號(hào)是
          ①③⑤⑥
          ①③⑤⑥

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          同步練習(xí)冊答案