Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，準(zhǔn)線與圓相切．

（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知直線和拋物線交于點(diǎn)，命題P：“若直線過(guò)定點(diǎn)，則”，請(qǐng)判斷命題P的真假，并證明。

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅱ）命題P為真命題

解析試題分析：（Ⅰ）依題意，可設(shè)拋物線的方程為，
其準(zhǔn)線的方程為.           
∵準(zhǔn)線與圓相切，
∴所以圓心到直線的距離，解得.
故拋物線的方程為:． 
（Ⅱ）命題P為真命題
因?yàn)橹本�和拋物線交于點(diǎn)且過(guò)定點(diǎn)，所以直線的斜率一定存在
設(shè)直線，交點(diǎn)聯(lián)立拋物線的方程，
得 恒成立           
由韋達(dá)定理得        

，所以命題P為真命題 
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；恒過(guò)定點(diǎn)的直線；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線方程的求法，以及直線與拋物線的位置關(guān)系判斷，做題時(shí)要認(rèn)真分析，避免不必要的錯(cuò)誤．