Question

（2013•湛江一模）設(shè)函數(shù)f（x）=x（e^x-2）-ax²（x≥0），其中e是自然對數(shù)的底，a為實數(shù)．
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a≠1時，f（x）≥-x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a≠1時，f（x）≥-x恒成立，等價于x（e^x-1-ax）≥0，構(gòu)造新函數(shù)，分類討論，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x（e^x-2）-x²（x≥0），
∴f′（x）=（e^x-2）（x+1），
∵x≥0，∴x+1≥1＞0
令f′（x）＞0，可得x∈（ln2，+∞），f′（x）0，可得x∈[0，ln2）
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[0，ln2），單調(diào)遞增區(qū)間是（ln2，+∞），
（2）當(dāng)a≠1時，f（x）≥-x恒成立，等價于x（e^x-1-ax）≥0
設(shè)g（x）=e^x-1-ax，則g′（x）=e^x-a
∵x≥0，∴e^x≥1
①a＞1時，由g′（x）＞0解得x＞lna
∴x∈[0，lna）時，g（x）為減函數(shù)，當(dāng)x∈[lna，+∞）時，g（x）為增函數(shù)
∵g（0）=0，
∴x∈[0，lna）時，g（x）＜0
∵x＞0，∴xg（x）＜0，即x（e^x-1-ax）＜0
∴f（x）＜-x，∴結(jié)論不成立
②當(dāng)a＜1時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，而g（0）=0
∴g（x）≥0，∴f（x）≥-x恒成立
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，1）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．