Question

（1）解不等式|2x-1|＜|x|+1
（2）設x，y，z∈R，x²+y²+z²=4，試求x-2y+2z的最小值及相應x，y，z的值．

Answer 1

分析：（1）對x的范圍分x＜0，0≤x＜

1

2

與x≥

1

2

討論，去掉原不等式中的絕對值符號，從而可求得其解集；
（2）利用柯西不等式（x-2y+2z）²≤（x²+y²+z²）[1²+（-2）²+2²]=4×9=36，即可求得x-2y+2z的最小值及相應x，y，z的值．

解答：解：（1）當x＜0時，原不等式可化為-2x+1＜-x+1，解得x＞0，
又x＜0，故x不存在；
當0≤x＜

1

2

時，原不等式可化為-2x+1＜x+1，解得x＞0，
∴0＜x＜

1

2

；
當x≥

1

2

時，x＜2，
∴

1

2

≤x＜2；
綜上所述，原不等式的解集為：{x|0＜x＜2}；
（2）（x-2y+2z）²≤（x²+y²+z²）[1²+（-2）²+2²]=4×9=36，
∴x-2y+2z的最小值為-6，
此時

x

1

=

y

-2

=

z

2

=

-6

22+(-2)2+22

=-

2

3

，
∴x=-

2

3

，y=

4

3

，z=-

4

3

．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查二維形式的柯西不等式，著重考查分類討論思想與等價轉化思想，考查運算求解能力，屬于中檔題．