Question

【題目】已知橢圓的離心率為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成的三角形面積為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)與圓O：相切的直線(xiàn)l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△AOB面積的最大值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用橢圓的離心率為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成的三角形面積為，建立方程，即可求橢圓C的方程；

（Ⅱ）對(duì)直線(xiàn)ＡＢ的斜率分類(lèi)討論，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，利用相切可得，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可以表示，利用均值不等式求出最值即可得到△AOB面積的最大值

解：（I）由題設(shè)：，

解得

∴橢圓C的方程為

（Ⅱ）.設(shè)

1.當(dāng)ABx軸時(shí)，

2.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為

由已知，得

把代入橢圓方程消去y，

整理得,

有

,

,

,

,

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)時(shí)，

綜上所述，從而△AOB面積的最大值為