Question

【題目】已知橢圓的焦距為,左、右頂點分別為、,是橢圓上一點, 記直線、的斜率為、,且有.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于、兩點, 以、為直徑的圓經(jīng)過原點, 且線段的垂直平分線在軸上的截距為,求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意可得，設(shè)，代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡整理，計算可得，，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）將直線：代入橢圓，設(shè)，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為，化簡整理，解方程可得，，進(jìn)而得到所求直線的方程.

試題解析：（1）依題意,, 設(shè),則有 ,即,

,又,

即橢圓的方程為.

（2）設(shè)的中點為,聯(lián)立得到

, ①

②

因為以為直徑的圓經(jīng)過頂點,,

,化簡得 ③

將②式代入得到代入①式得,.

由于線段的垂直平分線經(jīng)過點,,將②代入得到

④ 聯(lián)立③④得或,,

直線的方程為.