Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求圓的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任一點(diǎn)，求兩點(diǎn)的極坐標(biāo)和面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1） ,；（2）,.

【解析】

試題分析：（1）把曲線的參數(shù)方程移項(xiàng)，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)即可求得圓的普通方程，利用兩角和的余弦公式展開，由即可得到直線的直角坐標(biāo)方程；（2）軸負(fù)半軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極角為，軸正半軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極角為，由此可得兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，由直線的參數(shù)方程得到點(diǎn)的參數(shù)表達(dá)式，由點(diǎn)到直線的距離公式及三角恒等變換得到面積的表達(dá)式，即可求得最值.

試題解析：（1）由消去參數(shù)，得，

所以圓的普通方程為.

由，得，

所以直線的直角坐標(biāo)方程為.

（2）直線與軸，軸的交點(diǎn)為，化為極坐標(biāo)為，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為

，

∴，又，

所以面積的最小值是.