Question

【題目】設(shè)為非空實(shí)數(shù)集（至少有兩個(gè)元素），若對(duì)任意，都有，且，則稱為封閉集，則下列四個(gè)判斷：

①集合為封閉集，則為無(wú)限集； ②集合為封閉集；

③若集合為封閉集，則為封閉集； ④若為封閉集，則一定有；，

其中正確的命題個(gè)數(shù)有（ ）.

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】

①：運(yùn)用反證法進(jìn)行判斷即可；

②：運(yùn)用所給的定義進(jìn)行判斷即可；

③：結(jié)合②，再舉個(gè)封閉集，進(jìn)行判斷即可；

④：當(dāng)且，根據(jù)進(jìn)行判斷即可；

①：假設(shè)封閉集合中有個(gè)元素，，設(shè)這個(gè)個(gè)元素從小到大排列為：

，顯然這個(gè)元素必有正數(shù)，如果沒(méi)有正數(shù)，那么兩個(gè)數(shù)的積就是正數(shù)或零，顯然這是不可能的，故一定有，當(dāng)時(shí)，，顯然，這與集合是封閉集矛盾，故至少有兩個(gè)元素封閉集一定是無(wú)限集，因此本命題是真命題；

②：設(shè)，所以有，

；

；

，故集合為封閉集，因此本命題是真命題；

③：由②可知：為封閉集，同理也是封閉集，

當(dāng)時(shí)，，所以不是封閉集，因此本命題是假命題；

④：為封閉集，當(dāng)且時(shí)，，因此本命題是真命題.

故選：B