Question

已知橢圓中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，它的一個頂點為拋物線x²=4y的焦點．
（I）求橢圓方程；
（II）若直線y=x-1與拋物線相切于點A，求以A為圓心且與拋物線的準線相切的圓的方程；
（III）若斜率為1的直線交橢圓于M、N兩點，求△OMN面積的最大值（O為坐標原點）．

Answer 1

解：（I）設橢圓的方程：
∵橢圓的一個頂點為拋物線x²=4y的焦點，∴b=1
∵橢圓的離心率為，∴e==，∴，∴a²=2
∴橢圓的方程為：
（II）得：x²-4x+4=0，解得x=2，
代入拋物線方程x²=4y，得y=1，故點A的坐標為（2，1），
因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y=-1的距離，
即r=|1-（-1）|=2，
所以圓A的方程為：（x-2）²+（y-1）²=4．
（III）設斜率為1的直線方程為y=x+m，代入橢圓方程，消去y可得3x²+4mx+2m²-2=0
∵直線交橢圓于M、N兩點，∴△=16m²-12（2m²-2）＞0，∴-＜m＜
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴|MN|==
∵原點O到直線MN的距離d=
∴=××==（當且僅當時，取等號）
∴△OMN面積的最大值為．
分析：（I）設出橢圓的標準方程，利用拋物線的焦點坐標可得b的值，利用橢圓的離心率，即可求得橢圓的幾何量，從而可得橢圓的方程；
（II）將直線y=x-1代入x²=4y得x²-4x+4=0，解得x=2，代入拋物線方程x²=4y，得點A的坐標為（2，1），因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y=-1的距離，由此能求出圓A的方程；
（III）設斜率為1的直線方程為y=x+m，代入橢圓方程，消去y可得3x²+4mx+2m²-2=0，利用韋達定理計算|MN|，求得原點O到直線MN的距離，從而可表示三角形的面積，利用基本不等式，可求OMN面積的最大值．
點評：本題考查橢圓、圓的標準方程，考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查利用基本不等式求最值，正確運用韋達定理是關鍵．