Question

【題目】如圖，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)O、E分別是A1C1、A1B1的中點(diǎn)，A1C與AC1交于點(diǎn)F，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2．

（1）求證：EF∥平面BB1C1C；

（2）求A1C1與平面AA1B1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）．

【解析】

（1）推導(dǎo)出OE∥B1C1，OF∥C1C，，從而平面OEF∥平面BB1C1C，由此能證明EF∥平面BB1C1C；

（2）設(shè)點(diǎn)C1到平面AA1B1的距離為d，由，求出由此能求出A1C1與平面AA1B1所成角的正弦值.

證明：（1）∵O，E分別是A1C1、A1B1的中點(diǎn)，A1C與AC1交于點(diǎn)F，

∴OEB1C1，OFC1C，

又平面BB1C1C，平面BB1C1C，

平面BB1C1C，

同理平面BB1C1C，

又，平面OEF，

∴平面OEF平面BB1C1C，

∵EF平面OEF，

∴EF平面BB1C1C．

（2）設(shè)點(diǎn)C1到平面AA1B1的距離為d，

∵，

∴，

AO，OB1，

AB12，

∵△AA1B1中，A1B1＝AB1＝2，AA＝2，

邊AA上的高為：，

∴，

∴，

解得d，

設(shè)A1C1與平面AA1B1所成角為θ，

∴A1C1與平面AA1B1所成角的正弦值為：

sinθ．