Question

【題目】已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)，且焦距為.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)M，若，求m的值.

Answer 1

【答案】(1) (2) 或

【解析】

先根據(jù)焦距求出c，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，以及，解得，，問題得以解決；
設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達(dá)定理和判別式，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出，即可求出的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出，再根據(jù)直線垂直，二倍角公式可求出，再解直角三角形即可求出m的值．

由題意可得，解得，，，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，

聯(lián)立，整理得：，

，

，
由韋達(dá)定理：，，

，

，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

又，

，

又，

，

，

垂直平分AB，

，

又，

解得或舍去，

在中，，

整理可得，

解得或．