Question

【題目】已知極點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的正半軸重合，直線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，求使面積取得最大值時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；．（2）

【解析】

（1）利用加減相元法把直線的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角方程互化公式把曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程；

（2）由題知線段的長(zhǎng)度為定值，若使面積取得最大值，只需點(diǎn)到直線的距離最大．根據(jù)橢圓的參數(shù)方程表示點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行求解即可.

（1）直線的參數(shù)方程消參，得普通方程為；

將代入曲線的極坐標(biāo)方程，

得曲線的直角坐標(biāo)方程為．

（2）由題知線段的長(zhǎng)度為定值，若使面積取得最大值，只需點(diǎn)到直線的距離最大．

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以設(shè)，

則點(diǎn)到直線的距離為

，

其中，．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．

此時(shí)，，即．