Question

【題目】如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)，，過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）取橢圓的左焦點(diǎn)，連、，由橢圓的幾何性質(zhì)知，則，設(shè)橢圓方程代入點(diǎn)即可求解（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為：，聯(lián)立方程組,消元得，寫出的斜率，同理得直線的斜率，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論.

（Ⅰ）如圖，取橢圓的左焦點(diǎn)，連、，由橢圓的幾何性質(zhì)知，則，得，

將點(diǎn)代入橢圓的方程得：，解得：

故橢圓的方程為：.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

由圖可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：

聯(lián)立方程，消去得：，

，.

有

直線的斜率為：.

同理直線的斜率為：.

由

.

由上得直線與的斜率互為相反數(shù)，可得.