Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的最小值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）當時，，求得，得出函數(shù)的單調性，即可求解函數(shù)的極小值.

（Ⅱ）當，方程的，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，記為，，得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，求得函數(shù)的最小值，沒有零點；當時，函數(shù)僅有一個零點為；當時，得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，求得，由此時函數(shù)有兩個零點，即可得到答案.

解：（Ⅰ）當時，

，令可得.

故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為

故當時，函數(shù)的最小值為.

（Ⅱ）由

∵，方程的，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，記為，，

則，，有，故函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有

當時，，又函數(shù)單調遞減，

（1）當時，，此時，函數(shù)沒有零點；

（2）當時，函數(shù)僅有一個零點為；

（3）當時，有，

由，有

令，有，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，

由，可得不等式（當且僅當時取等號）成立

故有當時， ，

則此時函數(shù)有兩個零點.

由上知時，函數(shù)有一個零點；

當時，函數(shù)有兩個零點；

當時函數(shù)沒有零點.