【題目】已知函數(shù)
.
（1）求函數(shù)
圖象經(jīng)過的定點坐標(biāo)；
（2）當(dāng)
時，求曲線在點
處的切線方程及函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意
，
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】（1）
（2）見解析（3）
.
【解析】
試題分析：（1）當(dāng)
時，
，則
，即可求得頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)
時，
，對
求導(dǎo)，分別求出
與
，即可得切線方程，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負，即可求出函數(shù)
單調(diào)區(qū)間；（3）對函數(shù)求導(dǎo)，討論
和
時，函數(shù)的單調(diào)性，進而求出
，即可求出實數(shù)
的取值范圍.
試題解析：（1）當(dāng)時，
∴，
∴函數(shù)的圖象無論為何值都經(jīng)過定點
.
（2）當(dāng)時，.
，
，
，
則切線方程為
，即
.
在
時，如果
，
即
時，函數(shù)單調(diào)遞增；
如果
，
即
時，函數(shù)單調(diào)遞減.
（3）
，
.
當(dāng)時，
，在
上單調(diào)遞增.
，
不恒成立.
當(dāng)時，設(shè)
，.
∵
的對稱軸為
，
，
∴在
上單調(diào)遞增，且存在唯一
，
使得
.
∴當(dāng)
時，
，即
，在
上單調(diào)遞減；
∴當(dāng)
時，
，即，在
上單調(diào)遞增.
∴在上的最大值
.
∴
，得
，
解得
.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某班級體育課舉行了一次“投籃比賽”活動，為了了解本次投籃比賽學(xué)生總體情況，從中抽取了甲乙兩個小組樣本分數(shù)的莖葉圖如圖所示．
5 | 6 | 5 | 8 | ||||||
6 | 0 | 1 | 3 | 6 | 2 | 4 | 6 | 9 | |
7 | 1 | 2 | 7 | 1 | 3 | ||||
8 | 0 | 1 | 8 | 1 | |||||
甲 | 乙 | ||||||||
（1）分別求甲乙兩個小組成績的平均數(shù)與方差；
（2）分析比較甲乙兩個小組的成績；
（3）從甲組高于70分的同學(xué)中，任意抽取2名同學(xué)，求恰好有一名同學(xué)的得分在[80,90）的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知某射擊運動員每次擊中目標(biāo)的概率都是0.7.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次，至少擊中2次的概率：先由計算器算出0～9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2表示沒有擊中目標(biāo)，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)；因為射擊4次，故以每4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：
5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 6710 4281
據(jù)此估計，該射擊運動員射擊4次至少擊中2次的概率為（ ）
A. 0.8 B. 0.85 C. 0.9 D. 0.95
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P是圓
上一動點，
x軸于點D.記滿足
的動點M的軌跡為Γ.
(1)求軌跡Γ的方程；
(2)已知直線
與軌跡Γ交于不同兩點A，B，點G是線段AB中點，射線OG交軌跡Γ于點Q，且
.
①證明：
②求△AOB的面積S(λ)的解析式，并計算S(λ)的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知平面上動點
到點
的距離與到直線
的距離之比為
，記動點
的軌跡為曲線
.
（1）求曲線
的方程；
（2）設(shè)
是曲線
上的動點，直線
的方程為
.
①設(shè)直線
與圓
交于不同兩點
， 
，求
的取值范圍；
②求與動直線
恒相切的定橢圓
的方程；并探究：若
是曲線
： 
上的動點，是否存在直線
： 
恒相切的定曲線
？若存在，直接寫出曲線
的方程；若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某機構(gòu)組織語文、數(shù)學(xué)學(xué)科能力競賽，按照一定比例淘汰后，頒發(fā)一二三等獎.現(xiàn)有某考場的兩科考試成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中數(shù)學(xué)科目成績?yōu)槎泉劦目忌?/span>
人.
（Ⅰ）求該考場考生中語文成績?yōu)橐坏泉劦娜藬?shù)；
（Ⅱ）用隨機抽樣的方法從獲得數(shù)學(xué)和語文二等獎的學(xué)生中各抽取
人，進行綜合素質(zhì)測試，將他們的綜合得分繪成莖葉圖，求樣本的平均數(shù)及方差并進行比較分析；
（Ⅲ）已知本考場的所有考生中，恰有
人兩科成績均為一等獎，在至少一科成績?yōu)橐坏泉劦目忌校S機抽取
人進行訪談，求兩人兩科成績均為一等獎的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（2）用定義證明
在
上是減函數(shù)；
（3）函數(shù)在
上是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)？（直接寫出答案，不要求寫證明過程）．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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