Question

【題目】設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足.

(1)若，請寫出所有可能的的取值；

(2)求證：中一定有一項的值為1或3；

(3)若正整數(shù)m滿足當時，中存在一項值為1，則稱m為“歸一數(shù)”，是否存在正整數(shù)m，使得m與都不是“歸一數(shù)”？若存在，請求出m的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）可能取得值為：，，，（2）證明見解析，（3）不存在。

【解析】

（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系，分類討論，即可得出可能取得的值.

（2）首先設(shè)中最小的奇數(shù)為，根據(jù)題意得到：，再對分奇數(shù)和偶數(shù)討論即可.

（3）由題知：中一定有，設(shè)，得到，，…….均為的倍數(shù).故不存在正整數(shù)m，使得m與都不是“歸一數(shù)”.

（1）由題知：數(shù)列各項均為正整數(shù)，

或，解得：或（舍去）.

或，解得：或（舍去）.

或，解得：或.

當時，或，解得：或.

當時，或，解得：或（舍去）.

故可能取得值為：，，.

（2）因為為正整數(shù)數(shù)列，設(shè)中最小的奇數(shù)為，

所以為偶數(shù).

所以，此時可能為奇數(shù)或偶數(shù).

當為奇數(shù)時，則，解得：.

所以或.

當為偶數(shù)時，則，解得：.

所以或.

綜上所述：中一定有一項的值為或.

（3）由（2）知：中一定有，由題知：

因為，

所以或.

設(shè)，則，，…….均為的倍數(shù).

故不存在正整數(shù)m，使得m與都不是“歸一數(shù)”.